Program linear adalah suatu metode atau program untuk memecahkan masalah optimasi yang mengandung kendala-kendala atau batasan-batasan yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear ini dapat disajikan dalam daerah himpunan penyelesaian.
Tujuan program linear adalah mencari penyelesain optimum yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai nilai minimum dari suatu fungsi.
Model matematika adalah suatu rumusan matematika (berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear ke dalam bahasa matematika.
Contoh soal:
1. Luas suatu lahan parkir adalah 400m2 . Luas rata-rata suatu mobil dan satu bus masing-masing adalah 8 m 2 dan 24 m2.. Lahan parkir tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut dengan memisalkan mobil yang sedang diparkir sebanyak x dan bus sebanyak y.
Penyelesaian :
Dari keterangan tersebut , diperoleh hubungan sebagai berikut.
8x + 24y ≤ 400
X + y ≤ 20
Karena x dan y masing-masing menunjukkan banyaknya mobil dan bus, x dan y berupa bilangan cacah. Jadi, model matematika persoalan tersebut adalah
8x + 24y ≤ 400
X + y ≤ 20
X ≥ 0, y≥ 0
X, y Є C
Pertidaksamaan linear dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini dapat dilakukan dengan memodelkan masalah tersebut ke dalammodel matematika. Sebagai contoh perhatikan permasalahan berikut ini.
Pak Budi adalah seorang pedagang roti. Beliau menjual roti menggunakan gerobak yang hanya dapat memuat 600 roti. Roti yang dijualnya adalah roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing adalah Rp 5.500,00 dan Rp 4.500,00 per bungkusnya. Dari penjualan roti ini, beliau memperoleh keuntungan Rp 500,00 dari sebungkus roti manis dan Rp 600,00 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dimiliki oleh Pak Budi adalah Rp 600.000, buatlah model matematika dengan tujuan untuk memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!
Permasalah di atas dapat dimodelkan dalam bentuk matematika dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dengan memisalkan banyaknya roti manis dan roti tawar secara berturut-turut sebagai x dan y, maka diperoleh tabel sebagai berikut.
Sehingga apabila dituliskan dalam bentuk sistem pertidaksamaan akan menjadi seperti berikut ini.
x + y ≤ 600,
5.500x + 4.500y ≤ 600.000,
Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0
Dua pertidaksamaan yang terakhir (baris ketiga) menunjukkan syarat dari nilai x dan y. Karena x dan y secara berturut-turut menyatakan banyaknya roti, maka tidak mungkin nilai x dan y bernilai negatif.
Perhatikan kolom keempat dari tabel di atas. Kolom keempat tersebut menyatakan fungsi yang akan ditentukan nilai maksimumnya (nilai optimum). Fungsi tersebut dapat dituliskan dalam persamaan matematika sebagai berikut.
f(x,y) = 500x + 600y
Tujuan dari permasalahan ini adalah mencari nilai x dan y yang menjadi anggota himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan, serta membut fungsi f(x,y) = 500x + 600ybernilai optimum (maksimum).
Ya, kita telah berhasil merumuskan masalah di atas ke dalam suatu model matematika. Dari ilustrasi di atas, dapatkah kalian menyimpulkan pengertian dari model matematika?
Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.
