PRAMZ SETYA: Dinamika Rotasi Dan Kesetimbangan Benda Tegar

Torsi

Torsi atau momen gaya adalah hasil kali antara gaya F dan lengan momennya. Torsi dilambangkan dengan lambang $\tau$ .

$\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!$

$\tau = rF\sin \theta\,\!$

Satuan dari torsi adalah Nm (Newton meter).

Perjanjian tanda untuk MOMEN GAYA.

* Momen gaya yang searah jarum jam bertanda POSITIF.

* Momen gaya yang berlawanan arah jarum jam bertanda NEGATIF.

Momen inersia

Momen inersia adalah hasil kali partikel massa dengan kuadrat jarak tegak lurus partikel dari titik poros.

$I = m \times r^2$

Satuan dari momen inersia adalah kg m² (Kilogram meter kuadrat).
Besaran momen inersia dari beberapa benda.

Benda	Poros	Momen inersia
Batang silinder	Poros melalui pusat	$I = \frac{1}{12}\,\!mL^2$
Batang silinder	poros melalui ujung	$I = \frac{1}{3}\,\!mL^2$
Silinder berongga	Melalui sumbu	$I = mR^2$
Silinder pejal	Melalui sumbu	$I = \frac{1}{2}\,\!mR^2$
Silinder pejal	Melintang sumbu	$I = \frac{1}{4}\,\!mR^2 + \frac{1}{12}\,\!mL^2$
Bola pejal	Melalui diameter	$I = \frac{2}{5}\,\!mR^2$
Bola pejal	Melalui salahsatu garis singgung	$I = \frac{7}{5}\,\!mR^2$
Bola berongga	Melalui diameter	$I = \frac{2}{3}\,\!mR^2$

Hubungan antara torsi dengan momen inersia

Hukum II Newton tentang rotasi

$\tau= I \times \alpha$

Keterangan:

I : momen inersia (kg m²)
α : percepatan sudut (rad/s²)
$\tau$ : torsi (Nm)

Titik Berat

a. Titik berat benda homogen satu dimensi (garis)
Untuk benda-benda berbentuk memanjang seperti kawat , massa benda dianggap diwakili oleh panjangnya (satu dimensi) dan titik beratnya dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:

b. Titik berat benda-benda homogen berbentuk luasan (dua dimensi)
Jika tebal diabaikan maka benda dapat dianggap berbentuk luasan (dua dimensi), dan titik berat gabungan benda homogen berbentuk luasan dapat ditentukan dengan persamaan berikut:

Titik berat benda homogen berbentuk luasan yang bentuknya teratur terletak pada sumbu simetrinya. Untuk bidang segi empat, titik berat diperpotongan diagonalnya, dan untuk lingkaran terletak dipusat lingkaran. Titik berat bidang homegen di perlihatkan pada tabel berikut:

c. Titik berat benda-benda homogen berdimensi tigaLetak titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi tiga dapat ditentukan dengan persamaan:

Cara mencarinya:

Segiempat, benda prisma, lingkaran, dan bola: pasti di tengah tengah
Segitiga dan Benda Limas:

Luasan = 1/3 t dari alas
Pejal = 1/4 t dari alas

3. Bagian lingkaran dan Bola:

Busur = Tali busur : juring x R
Juring = tali busur : busur x 2/3 R
Separuh kulit = 1/2 R
Separuh pejal = 3/8 R

Contoh Soal:

Sebuah ember berikut isinya bermassa m = 20 kg dihubungkan dengan tali pada sebuah katrol berbentuk silinder pejal bermassa M = 10 kg. Ember mula-mula ditahan dalam kondisi diam kemudian dilepaskan.

Jika jari-jari katrol 25 cm dan percepatan gravitasi bumi 10 m/s² tentukan :
a) percepatan gerak turunnya benda m
b) percepatan sudut katrol
c) tegangan tali

Pembahasan
a) percepatan gerak turunnya benda m

Tinjau katrol :

(Persamaan 1)

Tinjau benda m :

(Persamaan 2)

Gabung 1 dan 2:

b) percepatan sudut katrol

c) tegangan tali
Dua buah ember dihubungkan dengan tali dan katrol berjari-jari 10 cm, ditahan dalam kondisi diam kemudian dilepas seperti gambar berikut!

Jika massa m₁ = 5 kg , m₂ = 3 kg dan massa katrol M = 4 kg, tentukan :
a) percepatan gerak ember
b) tegangan tali pada ember 1
c) tegangan tali pada ember 2

Pembahasan
a) percepatan gerak ember
Tinjau katrol

Tinjau ember 1

( Persamaan 2 )

Tinjau ember 2

( Persamaan 3 )

Gabung 2 dan 3

( Persamaan 4 )

Gabung 1 dan 4

b) tegangan tali pada ember 1
Dari persamaan 2

c) tegangan tali pada ember 2
Dari persamaan 3
Sebuah katrol silinder pejal dengan massa M = 4 kg berjari-jari 20 cm dihubungkan dengan dua buah massa m₁ = 5 kg dan m₂ = 3 kg dalam kondisi tertahan diam kemudian dilepaskan.

Jika lantai dibawah m₁ licin , tentukan percepatan gerak kedua massa!

Pembahasan
Tinjau katrol M

( Persamaan 1 )

Tinjau m₂

( Persamaan 2 )

Tinjau m₁

( Persamaan 3 )

Gabung 2 dan 3

( Persamaan 4 )
Sebuah silinder pejal bermassa 10 kg berada diatas permukaan yang kasar ditarik gaya F = 50 N seperti diperlihatkan gambar berikut!

Tentukan percepatan gerak silinder jika jari-jarinya adalah 40 cm!

Pembahasan
Tinjau gaya-gaya pada silinder :

( Persamaan 1 )

( Persamaan 2 )

Gabung 1 dan 2
Bola pejal bermassa 10 kg mula-mula diam kemudian dilepaskan dari ujung sebuah bidang miring dan mulai bergerak transalasi rotasi. Jari-jari bola adalah 1 meter, dan ketinggian h = 28 m.

Tentukan kecepatan bola saat tiba di ujung bawah bidang miring!

Pembahasan
Hukum Kekekalan Energi Mekanik :
Sebuah roda berputar dari kecepatan 10 rad/s menjadi 70 rad/s karena mendapat momen gaya tetap dalam waktu 3 sekon. Jika momen kelembaman roda 4 kg m2, tentukanlah besar momen gaya tersebut.

Jawab:
Diketahui: ω_o = 10 rad/s

ω = 70 rad/s

I = 4 kg m2

t = 3 s

Ditanya: τ =......?

                         τ = Iα
                         τ = I.[(ω – ω_o)/t]
                τ = 4.[(70 rad/s – 10 rad/s)/3 s]
                       τ = 80 Nm

7.Sebuah silinder pejal berjari-jari 15 cm dan bermassa 2 kg dijadikan katrol untuk sebuah sumur, seperti tampak pada gambar. Batang yang dijadikan poros memiliki permukaan licin sempurna. Seutas tali yang massanya dapat diabaikan, digulung pada silinder. Kemudian, sebuah ember bermassa 1 kg diikatkan pada ujung tali. Tentukan percepatan ember saat jatuh ke dalam sumur.

Jawab

Diketahui: R = 15 cm, massa katrol silinder M = 2 kg, dan massa ember m = 1 kg.

Rotasi pada katrol silinder:
Berdasarkan persamaan momen gaya didapatkan
τ = Iα
RT = Ia/R
T = (I.a)/R² …. (a)

Translasi pada ember:
Berdasarkan Hukum Newton didapatkan

ƩF = m.a

mg – T = ma …. (b)

Dengan menggabungkan Persamaan (a) dan Persamaan (b), diperoleh hubungan.

Selanjutnya, substitusikan harga I = ½ M R2 pada Persamaan (c) sehingga diperoleh

dengan m adalah massa ember dan M adalah massa katrol silinder.

8.

Sebuah benda pejal bermassa M dan berjari-jari R, memiliki momen inersia I = kMR². Benda tersebut menggelinding pada suatu bidang miring dengan sudut kemiringan, seperti tampak pada gambar.
a. Berapakah percepatan yang dialami benda pejal tersebut?
b. Tentukanlah percepatan yang terjadi, jika benda itu berupa bola dengan momen inersia I =(2/5)MR², atau silinder dengan I = ½ MR².

Jawab
Diketahui: I benda pejal = kMR².

a. Menurut Hukum Kedua Newton pada gerak translasi, diperoleh hubungan

Mg sin θ – f = Ma atau Ma + f = Mg sin θ …. (a)

Berdasarkan prinsip rotasi terhadap pusat benda, berlaku hubungan

τ = Iα → f R = kMR α→ f = kMa …. (b)

Substitusikan Persamaan (b) ke dalam Persamaan (a), diperoleh

Ma + kMa = Mg sinθ ⇨ a = (g sinθ) / (k +1)

b. Untuk silinder dengan k = ½ , diperoleh

a = (g sinθ) / ( ½ + 1) = (2/3) (g sinθ)

9. seorang anak dengan kedua lengan berada dalam pangkuan sedang berputar pada suatu kursi putar dengan 1,00 putaran/s. Ketika ia merentangkan kedua lengannya, ia diperlambat sampai 0,40 putaran/s. Tentukan perbandingan:
a. momen inersia gabungan anak + kursi sebelum dan sesudah kedua lengannya direntangkan
b. energi kinetik sebelum dan sesudahnya

jawab:
ω₁= 1 rps (sebelum merentangkan tangan)
ω₂= 0,4 rps (sesudah merentangkan tangan)

a). Gunakan Hukum Kekekalan momentum sudut
=> L₁= L₂
=>I₁ω₁= I₂ω₂
=>I₁(1) = I₂(0,4)
maka : I₁: I₂= 0,4 : 1
atau : I₁: I₂= 2 : 5

b). Rumus energi kinetik rotasi adalah : Ekr = ½ I ω²
Maka :
Ekr₁= ½ I₁ω₁² dan Ekr₂= ½ I₂ω₂²
Sehingga perbandingan :
Ekr₁: Ekr₂= (I₁/ I₂).(ω₁: ω₂)²
Ekr₁: Ekr₂= (2/5) . (5/2)² = 5/2
Ekr₁: Ekr₂= 5 : 2

10. pada sistem keseimbangan benda tegar, AB adalah batang homogen panjang 80 cm, beratnya 18 N, berat beban 30 N. BC adalah tali. Berapa tegangan pada tali (dalam newton) jika jarak AC = 60 cm?
(gambar no. 2 ini berbentuk siku2, dengan siku2 di A, B sejajar horizontal dengan A, dan C sejajar vertikal dengan A. BC adalah sisi miring. pada B, tergantung beban)

Jawab:
Langkah 1.
Gambarkan semua gaya-gaya pada tongkat AB, yaitu :
Wt = 80 N (berat tongkat - ke bawah) => letak ditengah AB
Wb = 30 N (berat beban di B -m kebawah) => letaknya di B
T = gaya tegangan tali (pada garis BC - arah dari B ke C)

Langkah 2.
● hitung sudut ABC (α) => tan α = AC/AB = 60/80 = 3/4
sehingga diperoleh : α = 37º
● buat garis tegak lurus, dari titik A ke BC
(garis ini kita beri nama d, dimana d tegak lurus BC)
=> d = AB sin α
=> d = 80 sin 37º = 48 cm
(d = jarak gaya tegang tali T ke titik A)

Langkah 3.
Ambil resultan momen di titik A (A sebagai poros).
Στ (di A) = 0
Στ (di A) = Wt.d1 + Wb.d2 - T.d = 0
======> 80.(40) + 30.(80) - T.(48) = 0
======> 3200 + 2400 = 48.T
======> 5600 = 48.T
======> T = 5600/48 = 116,67 N

Catatan :
untuk mencari gaya tegangan tali (T) pada soal-soal sejenis di atas, kamu ga perlu menghitung : ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 (syarat setimbang translasi), Tapi cukup dengan memperhitungkan syarat setimbang rotasinya saja, yaitu Στ = 0.

11. Dua silinder homogen disusun seporos dengan panjang dan massanya masing-masing: l₁ = 5 cm ; m₁ = 6 kg ; l₂ = 10 cm ; m₂ = 4 kg.
Tentukan letak titik berat sistem silinder tersebut !
Jawab:
Kita ambil ujung kiri sebagai acuan, maka:
x₁ = 0.5 . l₁ = 2.5 cm
x₂ = l₂ + 0.5 . l₁ = 5 + 5 = 10 cm
X = (å m_i . x_i)/(m_i)
X = (m₁.x₁) + (m₁.x₁)/(m₁ + m₂)
X = (6 . 2.5 + 4 . 10)/(6 + 4)
X = (15 + 40)/(10) = 5.5 cm
Jadi titik beratnya terletak 5.5 cm di kanan ujung m₁

12.

Sebuah karton berbentu huruf L dengan ukuran seperti pada gambar di bawah:

13.Balok A 2 kg berada di atas meja licin dihubungkan tali dengan balok B 3 kg melalui katrol sehingga dapat menggantung seperti pada Gambar (a).
Jika massa katrol sebesar 2 kg dan jari-jari 10 cm maka tentukan :
a. percepatan benda A dan B,
b. percepatan sudut katrol,
c. tegangan tali TA dan TB!
Penyelesaian
mA = 2 kg
mB = 3 kg → wB = 30 N
mk = 2 kg → k =
a. Percepatan balok A dan B
Balok A dan B akan bergerak lurus dan katrol berotasi sehingga dapat ditentukan percepatannya dengan bantuan gambar gaya-gaya seperti pada Gambar (b).
Balok A : translasi
ΣF = m a
TA = mA a = 2 a ………………………………
a) Balok B : translasi
ΣF = m a
30 − TB = 3a
TB = 30 − 3a …………………………………
b) Katrol : berotasi
Στ = I α
(TB − TA) R = k mk R2 .
TB − TA = . 2 . a
Substitusi TA dan TB dapat diperoleh:
(30 − 3a) − (2a) = a
30 = 6a → a = 5 m/s2

b. Percepatan sudut katrol sebesar:
α = a / R = 5 / 0,1 = 50 rad/s²

c. Tegangan talinya:
TA = 2a = 2 . 5 = 10 N
TB = 30 − 3a = 30 − 3 . 5 = 15 N

14. Sebuah bola pejal bermassa 10 kg berjari-jari 70 cm menggelinding di atas bidang datar karena dikenai gaya 14 N. Tentukan momen inersia,percepatan tangensial tepi bola, percepatan sudut bola, gaya gesekan antara bola dan bidang datar, serta besarnya torsi yang memutar bola!